이 글은 베이즈 정리(Bayes’ theorem)를 사전/사후 확률과 함께 예제로 바로 계산해 보는 노트입니다.
1) 베이즈 정리 공식
베이즈 정리:
\[P(H\mid E) \;=\; \frac{P(E\mid H)\,P(H)}{P(E)} \tag{1}\]여기서 (H)는 가설(Hypothesis), (E)는 증거(Evidence) 입니다.
- (P(H)): 사전 확률(prior) — 증거를 보기 전의 신뢰도
- (P(H\mid E)): 사후 확률(posterior) — 증거를 본 후의 갱신된 신뢰도
확률을 “사건에 대한 신뢰도”로 보는 관점은 베이지안(Bayesian) 관점입니다(전통적인 빈도주의(frequentist) 관점과 대비).
2) 왜 중요한가(요지)
베이즈 정리는 “새로운 정보 (E)를 바탕으로 가설 (H)에 대한 신뢰도를 갱신하는 방법”입니다.
전통적 통계는 미리 정의된 확률공간/분포에 근거한 연역적 추론에 가깝고, 베이지안은 경험적 사전정보를 두고 귀납적으로 갱신해 진리에 가까워집니다.
3) 용어 빠르게 정리
- (H): Hypothesis — “어떤 사건이 발생했다”는 주장
- (E): Evidence — “새로 관측된 정보”
- (P(H)): 사전 확률, (P(H\mid E)): 사후 확률
사전/사후는 증거 관측 전/후를 뜻합니다.
4) 예제 1 — 1회 양성일 때의 사후 확률
- 유병률(사전확률): (P(H)=0.001) (0.1%)
- 민감도: (P(E\mid H)=0.99)
- 특이도: (P(E^c\mid H^c)=0.98 \Rightarrow P(E\mid H^c)=0.02)
전확률 (P(E))를 분해하면:
\[P(H\mid E) =\frac{P(E\mid H)P(H)}{P(E\mid H)P(H)+P(E\mid H^c)P(H^c)} =\frac{0.99\times 0.001}{0.99\times 0.001+0.02\times 0.999} \approx 0.047. \tag{2}\]해석: 1회 양성만으로는 사후확률이 약 4.7%에 그칩니다(유병률이 매우 낮아서 거짓양성의 영향이 큼).
5) 예제 2 — 연속 2회 양성일 때
예제 1의 사후 확률 0.047을 새 prior로 사용해 한 번 더 갱신:
- 새 (P(H)=0.047), 여전히 (P(E\mid H)=0.99), (P(E\mid H^c)=0.02)
해석: 2회 연속 양성이면 사후확률이 약 70.9%로 크게 상승합니다(베이즈 갱신의 전형적인 효과).
6) 실전 메모
- (P(A\mid B)=1-P(A^c\mid B))는 성립, 그러나 (P(A\mid B))와 (1-P(A\mid B^c))는 관계없음.
- 사전확률(유병률)이 작으면 양성 예측도(PPV)가 낮아질 수 있음 → 반복검사, 더 높은 특이도 검사 조합 고려.
- 의사결정은 수치뿐 아니라 비용/효용(검사비용, 침습성, 치료 이득/위험)까지 함께 평가.
References
- 원문/출처: [https://angeloyeo.github.io/2020/01/09/Bayes_rule.html]