연속확률변수

이산 → 연속: 개념 전환

연속형 확률변수: $\mathbb{R}$ 전체(또는 구간)에서 비가산 많은 값.
이산형의 PMF 대신 연속형은 PDF $f_X(x)$ 사용.

PDF 정의/성질

구간 확률: $P(a\le X\le b)=\int_a^b f_X(x)\,dx$
비음성: $f_X(x)\ge0$
정규화: $\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx=1$
점확률: $P(X=a)=\int_a^a f_X(x)\,dx=0$

다변량 PDF

결합밀도 $f_{X,Y}(x,y)$: $P(a\le X\le b,\;c\le Y\le d)=\int_c^d\int_a^b f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy$
독립이면 $f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

주변/조건부 밀도

주변: $f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)\,dy$
조건부: $$f_{X Y}(x y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}$$

기대값/분산(연속형)

\[\mu_X=E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f_X(x)\,dx\]
\[\sigma_X^2=\mathrm{Var}(X)=\int (x-\mu_X)^2 f_X(x)\,dx=E[X^2]-\mu_X^2\]

예시: 균등분포(유한 구간)

중심 $a$, 폭 $b$인 구간 $[a-\tfrac b2,\;a+\tfrac b2]$에서 $f_X(x)=\frac{1}{b}\,\mathbf{1}\!\left\{\,a-\tfrac b2\le x\le a+\tfrac b2\,\right\}$
평균/분산: $\mu=a$, $\ \sigma^2=\dfrac{b^2}{12}$

선형결합, 공분산, 상관

선형결합

$L=\sum_{i=1}^n c_i X_i$
$E[L]=\sum c_i E[X_i]$ (선형성, 독립 불필요)
\[\mathrm{Var}(L)=\sum c_i^2\mathrm{Var}(X_i)+2\sum_{i<j} c_i c_j\,\mathrm{Cov}(X_i,X_j)\]
- 서로 독립이면 교차항 0 → $\sum c_i^2\mathrm{Var}(X_i)$

공분산/상관계수

$\mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$
\[\rho_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}\in[-1,1] \quad\text{(무차원)}\]
주의: $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ (또는 $\rho=0$) ⇒ 독립 아님(일반적으로)

반례(강의 예시)

표준화 $X$ (평균 0, 분산 1), $Y=X^2$ (비선형 종속)
대칭 PDF에서 $E[X^3]=0$ → $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ 이지만 종속.

정규분포 소개

표기: $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$
PDF $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$
파라미터 영향
- $\mu$ 변화: 중심 이동(모양 동일)
- $\sigma$ 증가: 분산↑/폭 넓어짐

실전 메모

PDF는 면적=확률: 적분으로만 확률 계산, 점확률 0
독립성 체크: 이론에선 분산 합 공식의 교차항; 데이터에선 $\rho$만으로 독립 단정 금지
표준화: $Z=(X-\mu)/\sigma$는 $\mathcal{N}(0,1)$ → 표준정규표/함수 사용

정규분포 $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$

PDF $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

$\mu$ 증가 → 수평 이동, $\sigma$ 증가 → 더 넓고 낮아짐
표준정규: $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$, CDF $\Phi(z)=P(Z\le z)$
대칭성: $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$
구간확률: $P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)$

68–95–99% 규칙(근사)

$P( X-\mu \le 1\sigma)\approx 0.68$
$P( X-\mu \le 2\sigma)\approx 0.95$
$P( X-\mu \le 3\sigma)\approx 0.99$

형상 포인트

변곡점: $x=\mu\pm\sigma$
FWHM: $\text{FWHM}\approx 2.35\,\sigma$ (정규에서만 유효한 근사)

퍼센타일 & Z-점수

퍼센타일: $z_p$는 $P(Z\le z_p)=p$를 만족
- 예: $z_{0.75}\approx +0.675,\; z_{0.25}\approx -0.675$

표준화 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \quad\Rightarrow\quad P(a\le X\le b)=\Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right).$

예시 — 상한 초과 확률
$X\sim \mathcal{N}(8,2^2)$에서 $P(X>12)=1-\Phi(2)\approx 0.023$ (약 2.3%).

연속성 보정(Continuity Correction)

연속(정규)로 이산 범위를 근사할 때 ±0.5 경계 보정.
반올림 측정이 있는 연속변수에도 경계 해석이 바뀜.

예시 — 안압(IOP)
$X\sim \mathcal{N}(16,3^2)$, 정상: 12–20 mmHg, 정수 반올림.
보정 경계: 11.5 ≤ X ≤ 20.5 $P(11.5\le X\le 20.5)=\Phi(1.5)-\Phi(-1.5)\approx 0.866\;(86\!\sim\!87\%)$ 보정 없으면(12–20 그대로) ≈ 82% → 보정 중요.

정규로의 근사 (Binomial/Poisson)

이항분포 $\mathrm{Bin}(n,p)$

조건: $np(1-p)\gtrsim 5$ & $p$가 0/1에 치우치지 않을 때.
근사: $X\approx \mathcal{N}(np,\;np(1-p))$
연속성 보정
- $P(X\le k)\approx P(Y\le k+0.5)$
- $P(X\ge k)\approx P(Y\ge k-0.5)$
- $P(X=k)\approx P(k-0.5\le Y\le k+0.5)$
- 경계 0, $n$에서는 $(-\infty,0.5],\,[n-0.5,\infty)$ 사용

포아송 $\mathrm{Pois}(\mu)$

조건: $\mu\gtrsim 10$이면 대칭성 좋아져 근사 양호.
근사: $X\approx \mathcal{N}(\mu,\mu)$ (보정 동일)

주의: 스큐가 큰 경우(작은 $n$, 극단 $p$, 작은 $\mu$)엔 정규 근사 부적절.

실무 치트시트

표준화부터: 임의 $(\mu,\sigma)$ → $Z$, $\Phi$ 활용.
대칭성: $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$.
정수 경계는 0.5 보정: 이산→연속, 반올림 경계 모두.
적합성 점검: Binomial은 $npq\ge 5$, Poisson은 $\mu\ge 10$.
빠른 sanity check: 68–95–99 규칙, FWHM $\approx 2.35\sigma$.

키 공식

$Z=(X-\mu)/\sigma$
$P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)$
$\Phi(-z)=1-\Phi(z)$
Binomial → Normal: $\mu=np,\;\sigma^2=np(1-p)$ (+ 보정)
Poisson → Normal: $\mu=\sigma^2$ (+ 보정)

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